Cálculo r de Pearson

En esta entrada se explica como obtener la r de Pearson. Para ver cómo pedirla en SPSS, cómo interpretarla y trabajar con ella consulta el artículo Correlación Lineal.

La fórmula quizás más simplificada para el cálculo de la r de Pearson es la siguiente:

Veamos un ejemplo con pocos datos en los que vamos a proceder a su cálculo:

En el ejemplo vemos dos variables x e y con 7 casos. Para maximizar la relación de este ejemplo hemos puesto todos los valores iguales en las variables a excepción del último valor que se diferencia en un único punto. En amarillo aparecen todos los cálculos previos que necesitamos para llevar a cabo el cálculo.

Una vez que tenemos preparada la tabla podemos aplicar la fórmula:

Como se puede comprobar es el mismo valor que obtenemos por SPSS al sacar la correlación bivariada.

Correlación Lineal

1. Introducción al análisis de Correlación
2. Correlaciones Bivariadas
• Requisitos
• Estadísticos
• La r de Pearson
• Interpretación
• Ejemplo
3. Correlaciones Parciales

Introducción al análisis de Correlación

La correlación es un tipo de análisis que mide la relación entre dos o más variables. Este análisis nos aporta información sobre si existe o no relación entre las variables, así como nos habla de la intensidad y dirección de dicha relación. Desde SPSS se nos presentan tres tipos de correlaciones según el tipo de variables que intervienen en el análisis.

Las correlaciones Bivariadas: exigen variables de tipo continuo, aunque podemos usar las acostumbradas variables de escala 1-10 tan versátiles para las CCSS.

Las correlaciones parciales: son como las bivariadas pero permiten eliminar de la relación una tercera variable para que no distorsione la relación entre otras dos.

Las correlaciones de distancia: Con estas correlaciones podemos usar otro tipo de variables que no tengan carácter cuantitativo, como variables ordinales y nominales.

Correlaciones bivariadas:

Requisitos

Tipo de variables: Dos o más variables de escala

Ruta desde SPSS: Analizar – Correlaciones - Bivariadas

Estadísticos

Dentro del menú encontramos 3 estadísticos de Correlación.

La r de Pearson: Prueba paramétrica. Para su uso se deben cumplir dos requisitos: Las variables han de ser cuantitativas y además deben tener una relación de tipo lineal. También es posible usar este estadístico para calcular la correlación biserial con variables dicotómicas 0,1.

La Tau b de Kendall: Es una prueba no paramétrica. Podemos usar variables de tipo ordinal. Como hemos visto en el artículo de tablas de contingencia este estadístico tiene en cuenta los empates. Para ver cómo se calcula pincha en el enlace.

Rho de Spearman: Es parecida a la Tau b de Kendall. Trabaja con variables ordinales mediante la ordenación de los casos. Su interpretación es similar a la de la R de Pearson que veremos más en detalle en este artículo.

Para saber más de los coefecientes de asociación cuando trabajamos con variables ordinales puedes consultar el apartado sobre medidas de asociación para variables ordinales integrado en el artículo de tablas de contingencia.

La r de Pearson

El principal estadístico es el coeficiente de Correlación de Pearson, que mide el grado de covariación entre variables. Debido a la importancia de este estadístico nos vamos a detener para comprenderlo en profundidad.

Para ver cómo se calcula puedes consultar el artículo Cálculo R de Pearson.

La manera en la que este estadístico estudia la relación entre variables es a través de una línea, por lo que las variables han de estar relacionadas linealmente, siendo este uno de los supuestos a cumplir para el correcto uso de esta técnica. El coeficiente oscila entre los valores menos 1 y 1, donde 0 indica que no existe relación y el 1 que la relación es perfecta, es decir que cuando aumenta una aumenta la otra en el mismo grado. El signo, como de costumbre, indica la dirección en la que se produce dicha relación.

Vamos a ilustrar algunos ejemplos llevados al extremo de los tipos de relaciones existentes:

En los ejemplos tenemos dos relaciones perfectas, una de signo positivo con un coeficiente de 1 y otra negativa con un coeficiente de menos 1.

Como hemos comentado, para que podamos usar el coeficiente de correlación de Pearson nuestras variables deben estar relacionadas linealmente. Para ilustrar este hecho veamos un ejemplo ficticio. Imaginemos por ejemplo dos variables relacionadas, cuya distribución no describa una recta sino una especie de “v”. En este caso, a pesar de contar con variables relacionadas este estadístico no daría cuenta de relación y arrojaría una valor cercano al 0.

Imaginemos por ejemplo una distribución entre las variables edad y horas de ocio. Si analizamos la relación entre ambas variables a través del Coeficiente de Correlación de Pearson, probablemente obtendríamos una inexistencia de relación, cuando ambas variables están muy relacionadas. El hecho de que las personas de más edad y las de menos sean las que más horas libres tienen a su disposición produciría una distribución similar a una curva en forma de U. Por tanto, el Coeficiente de Correlación nos advertiría de que no existe relación entre las variables. Por ello, antes de confiar en este estadístico debemos asegurarnos de que no dejemos descuidado un tipo de relación diferente a las tenidas en consideración por este estadístico. (+ /+) (+/-)(-/+)(-/-). Cuando contamos con variables continuas, la mejor manera de comprobar la linealidad es realizar un gráfico de dispersión. Sin embargo, con las variables de escala acostumbradas, 1- 10 que tratamos como continuas desde las Ciencias Sociales, no llegamos a conclusiones fehacientes con dicho gráfico, por lo que podemos obtener más información de una tabla de contingencia que nos ofrezca una primera idea de la linealidad o no de la relación entre ellas.

Interpretación:

A menudo se considera un relación moderada lo que se encuentra entre 0,4 y 0,7. Una correlación alta entre 0,7 y 0,89 y una muy alta entre 0,9 y 1.

Ejemplo

Vamos a explorar con un ejemplo lo visto hasta ahora. La base de datos como en otras ocasiones es la encuesta mundial de valores. Se han cogido dos variables de tolerancia medidas de 1 a 10. Aceptación Homosexualidad y divorcio. Para pedir el análisis entramos en el menú analizar y pinchamos en correlaciones bivariadas.

En este ejemplo hemos marcado la opción de Pearson. Si nuestras variables son ordinales es recomendable usar el estadístico de Spearman también accesible desde este menú.

Como se aprecia en la tabla de abajo, la correlación es significativa, de 0,000, lo cual nos avisa de que parece existir una relación entre las variables. Sin embargo, la significación en la r de pearson está altamente influida por el tamaño muestral, por lo que en muestras grandes es muy probable que encontremos correlaciones significativas entre variables que apenas guardan relación. Por otro lado, la significación no nos habla del grado y dirección en la que nuestras variables están relacionadas.

El Coeficiente de correlación es de 0,67. Como veíamos este coeficiente oscila entre -1 y 1. De aquí se puede inferir que existe una correlación entre ambas variables de tipo positivo. A más aceptación de la homosexualidad más aceptación del divorcio y viceversa. Normalmente se suele considerar una correlación alta a partir de 0,7, por lo que la relación entre ambas variables está cercana a ser considerada alta.

Correlaciones
		Justifiable: homosexuality	Justifiable: divorce
Justifiable: homosexuality	Correlación de Pearson	1	,670**
	Sig. (bilateral)		,000
	N	2283	2267
Justifiable: divorce	Correlación de Pearson	,670**	1
	Sig. (bilateral)	,000
	N	2267	2346
**. La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).

Correlaciones Parciales

En ocasiones queremos mostrar la correlación existente entre dos o más variables sin tener en cuenta la relación con una tercera. En estos casos podemos calcular correlaciones parciales. Este tipo de análisis es ideal para identificar relaciones espúreas entre variables, es decir es capaz de identificar si la correlación observada entre dos variables es real o se produce como consecuencia de la correlación observada por una tercera variable por la cual se controla. Este análisis es similar al utilizado en la regresión (correlación semiparcial) a través de la cuál se estima si una nueva variable mejora la predicción de la variable dependiente.

Podemos realizar el análisis a través del menú "Analizar" + "Correlaciones" + "Parciales".

En este ejemplo queremos comprobar la relación entre las variables "x1" e "y" sin tener en cuenta la correlación con la variable x2. 

Como se aprecia la correlación entre las dos variables es de 0,421. La correlación bivariada original era de 0,456, por lo que la variable x2 no altera en exceso la relación entre las dos primeras variables "x1" e "y". 

Puedes ver cómo calcular la R de Pearson cuando tratamos con correlaciones parciales en el encale sobre cálculo de correlaciones parciales.  

Cómo calcular la T de Student

En la entrada sobre comparación de medias hemos explicado que la T de Student es el estadístico que sirve para alertar de las diferentes medias de dos grupos, ya sean muestras dependientes o independientes entre sí. Veíamos que dentro de las muestras independientes, dependiendo de la varianza de los grupos, es decir de la varianza de las categorías de la variable independiente respecto a una dependiente, la manera de calcular el estadístico variaba. Vamos a ver cómo se calcula este estadístico para los dos supuestos que se desprenden del contraste de varianzas de Levene. Para ello, vamos a continuar con el ejemplo usado en la entrada sobre comparación de medias. El referido a la opinión del aborto entre hombres y mujeres españoles de la encuesta mundial de valores en el año 2000. Sin embargo, si lo que se quiere es aprender a interpretar los resultados de un test de medias se debe acudir a la entrada sobre compación de medias.




Supuesto 1. Varianzas diferentes. Si a través del contraste de Levene hemos podido rechazar la hipótesis nula de igualdad de varianzas debemos calcular el estadístico T para muestras con varianzas diferentes. Su fórmula es la siguiente:





Si hacemos esta operación con todos los decimales nos sale una t de 3,33 que es exactamente el valor de la t que SPSS nos da como salida.

Supuesto 2. Varianzas iguales Si no hemos podido rechazar la hipótesis inicial de igualdad de medias del test de Levene debemos calcular la T de Student para varianzas iguales. Para ello, debemos calcular primero la varianza media:





Una vez calculada la varainza media ya podemos aplicar la fórmula de la t para varianzas iguales.

Comparación de medias

Hay distintos tipos de comparación de medias según las características de nuestras variables y la procedencia de nuestras muestras. La prueba T de Student es el estadístico usado para realizar el contraste de nuestras hipótesis. De modo genérico, cuando hablemos de comparación de medias, la hipótesis inicial será que nuestras variables son independientes entre sí, es decir, que las medias de la variable dependiente son iguales para los distintos grupos de la variable independiente. La hipótesis alternativa será que las medias son diferentes entre sí.

Prueba T para muestras independientes: Es la prueba que usaremos en la mayor parte de las ocasiones cuando trabajemos con datos de encuesta. Mediante este procedimiento compararemos la media que adopta una variable continua para las categorías de otra variable categórica-dicotómica. Si la variable categórica tiene más de dos categorías de respuesta deberemos usar la ANOVA o análisis de la varianza. Para llevar a cabo la comparación de medias de muestras independientes, los individuos de ambos grupos, de ambas submuestras, han de haber sido seleccionados de manera aleatoria.

Prueba T para muestras relacionadas: Se utiliza cuando las muestras no son independientes, sino que están relacionadas, por ejemplo cuando tenemos información de una misma muestra en dos momentos distintos. Las muestras están relacionadas puesto que las respuestas de un individuo a una pregunta están relacionadas con las respuestas que da ese mismo individuo a la misma pregunta en un momento diferente. Esta prueba resulta algo más rara en ciencias sociales, ya que normalmente no contamos con dos mediciones iguales para una misma muestra.

Prueba T para muestras independientes:

Requisitos:

Ya hemos visto que este estadístico se utiliza cuando tenemos una variable continua y otra categórica con dos categorías de respuesta. Además, hemos visto que las muestras deben ser independientes entre sí y haber sido seleccionadas de manera aleatoria, requisito que suelen cumplir todas las encuestas diseñadas para ser representativas de una población.

Procedimiento:

Ahora vamos a ver cómo calcular e interpretar dicha comparación de medias. Para ver si las diferencias obtenidas en nuestra muestra, es decir las diferencias de medias que muestran nuestros datos, son representativas de la población de estudio usaremos la prueba T de Student, cuya distribución alcanza valores similares a la normal cuando se trabaja con muestras grandes con muchos grados de libertad. Antes de estudiar la relación entre las medias de nuestros subgrupos hemos de saber si podemos asumir varianzas iguales para estos grupos, ya que el cálculo del estadístico variará en función de este supuesto.

Para ello, antes de realizar el test de medias, necesitamos realizar otro contraste en el que la hipótesis inicial será que las varianzas de nuestros grupos son iguales y la alternativa que son diferentes.

Para no perdernos vamos a ir viendo paso a paso como realizamos una comparación de medias. Para ello, vamos a utilizar un ejemplo extraído de la tercera oleada de la encuesta mundial de valores, año 2000. Aunque la encuesta realiza el estudio en muchos países, nosotros hemos filtrado los resultados solo para los casos de España. Por ejemplo, si queremos saber si existe diferencia entre lo que opinan del aborto hombres y mujeres deberíamos usar una comparación de medias para muestras independientes. Nuestras variables serían sexo y justificación del aborto, que está medida en una escala de 1 a 10 y que, por tanto, podemos considerar métrica, según se acostumbra en investigación social.

Como siempre, el primer paso es examinar nuestras variables y eliminar del análisis los casos perdidos. La variable justificación del aborto se pregunta de la siguiente manera “Dígame, por favor, para cada una de las siguientes cosas, si piensa que siempre se puede justificar, si no puede ser justificada o que está entre un extremo y otro, utilizando esta tarjeta” (la tarjeta presenta valores desde el 1 hasta el 10).

Cómo se pide en SPSS:

En el menú análisis, seleccionamos comparación de medias y prueba T para muestras independientes. La variable cuantitativa la colocamos en variables a contrastar, mientras que la variable dicotómica la colocamos en variable agrupación. Cuando tenemos activa esta variable debemos pinchar sobre definir grupos. Se abre otro menú en el que debemos especificar los grupos que queremos comparar. En nuestro caso, queremos comparar hombres, codificados con un 1 y mujeres, codificadas con un 2. Ya estamos listos para generar nuestro análisis.

Análisis

La primera tabla nos muestra las características principales de nuestros grupos. Hay 603 mujeres con una media de 4,53 y una desviación típica de 3,001. Mientras que hay 574 hombres con una media de justificación del 5,11 y una desviación típica de 2,992. Por tanto, a simple vista los hombres son ligeramente más tolerantes que las mujeres en lo que al aborto se refiere, al menos según los datos de nuestra muestra. Para ver si estas diferencias son aplicables a la población general y no son simplemente consecuencia de las diferencias de nuestra muestra usamos la prueba T.



En la segunda tabla tenemos la prueba de igualdad de medias. Como hemos dicho anteriormente, la T de Student se calcula de manera diferente dependiendo de si se ha asumido que los grupos, hombres y mujeres, tienen una misma varianza o no. En este enlace se puede ver cómo calcular la T de Student en los dos supuestos. La prueba de Levene para igualdad de varianzas, que SPSS saca por defecto, realiza dicho contraste. El nivel de significación es de 0,163, como el valor es mayor que 0,05 no podemos rechazar la hipótesis nula y por tanto asumimos que ambos grupos tienen una varianza similar. Gracias al test de Levene, sabemos que debemos mirar en la primera fila del estadístico T cuando se asumen varianzas iguales. La tabla dice que nuestro estadístico t vale 3,333 con 1.175 grados de libertad. Conocido el estadístico y los grados de libertad podemos calcular el valor de p, es decir el coeficiente de significación, acudiendo a la tabla de la distribución de Student. Cuando hay muchos grados de libertad, la distribución de Student es igual a la normal. Por supuesto, SPSS trabaja por nosotros y nos dice que la significación bilateral, el valor de “p”, es igual 0,01. Al ser inferior a 0,05, rechazamos la hipótesis inicial de igualdad de medias y decimos que las diferencias de medias halladas en nuestra muestra son aplicables a la población de estudio, en este caso, la población española. Por tanto, de nuestro análisis de medias se desprende que los españoles en general tienen un nivel medio de tolerancia ante el aborto y que dicha tolerancia es ligeramente mayor entre los hombres.

Cálcular D de Sommers

En esta entrada vamos a ver cómo se calcula la D de Sommers. Su cálculo es parecido a la Gamma y a la Tau-b y c de Kendall .

Al igual que la Tau-b o la Tau-c se calcula teniendo en cuenta el número de casos concordantes, discordantes y empatados resultante del cruce de dos variables. La manera de calcular estos casos ha sido ya explicada en los enlaces arriba citados, por lo que solo resta aplicar la fórmula de la D de Sommers. Hay tres versiones de este estadístico: variable x como dependiente, variable y como dependiente o versión simétrica. Las tres salidas son presentadas por defecto en SPSS. Veamos cómo calcularlas con el siguiente ejemplo:



Casos concordantes: P= 68.692
Casos discordantes: Q= 35.456
Empatados en x: Tx= 50.360
Empatados en y: Ty= 48.878
Total empatados: T= 99.238

Cálculo D de Sommers para x como dependiente:

Dyx=(P-Q)/(P+Q+Ty)
Dyx= (68.692-35.456)/(68.692+35.456+48.878)= 0,217

Cálculo D de Sommers para y como dependiente:

Dxy=(P-Q)/(P+Q+Tx)
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 50.360)= 0,215

Cálculo D de Sommers simétrica

Dsimetrica= (P-Q)/(P+Q+(T/2))
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 49.619)= 0,216

Artículos relacionados de este blog:

Artículo principal Tablas de contingencia
Cómo calcular Gamma
Cómo calcular Tau-b y c de Kendall

Cálculo de Gamma

Se puede interpretar como la reducción del error cometido al predecir el ordenamiento de los casos de una variable dependiente mediante el conocimiento de la ordenación de una variable independiente.

En este artículo se muestra cómo calcular Gamma. Para conocer qué es Gamma vaya al artículo sobre Tablas de contingencia

Gamma se calcula con la siguiente fórmula:

(C-D)/(C+D)
Dónde C= Casos concordantes y D a casos discordantes

Por tanto, el primer paso para calcular Gamma es calcular el número de casos concordantes y discordantes.



C= Casos concordantes. Son pares que se encuentran ordenados en el mismo sentido dentro de cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares AD; AF; CF que se calcularía cómo A*(D+F) + C*F

D= Casos discordantes. Son casos que se encuentran ordenados en sentido inverso en cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares BC; BE; DE que se calcularía cómo B*(C+E)+ D*E


Vamos a ver otro ejemplo de cálculo de casos concordantes y discordantes con dos variables ordinales de tres categorías cada una:



Casos concordantes: 102*(99+88+88+102) + 50*(88+102) + 56*(88+102) 99*102 = 68.692
Casos discordantes: 66*(99+88+50+30) + 88*(88+30) + 56*(50+30)+ 99*30= 35.456

Calculados los casos concordantes y discordantes solo queda aplicar la fórmula de Gamma:

GAMMA= (68.692 - 35.456) / (68.692 + 35.456)= 0,319

En nuestro caso Gamma vale 0,319 lo que indica cierto grado de relación positiva, es decir, conocer el orden de la variable independiente puede ayudarnos a predecir el orden de la variable dependiente.

Como hemos dicho en el artículo sobre tablas de contingencia, Gamma puede inflar la relación existente entre dos variables al no tener en cuenta el número de casos empatados. La tau de kendall es otro estadístico cuyo cálculo es similar al de Gamma pero que además incluye los casos empatados.

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Artículo principal: Tablas de contingencia

Cálculo de Chi cuadrado

Como hemos visto en el artículo sobre Tablas de contingencia , la chi cuadrado es un estadístico que avisa de la relación entre dos variables categóricas. Para calcularlo hay que poner en relación las frecuencias esperadas (las que se darían en situación de independencia de las variables) con las frecuencias observadas (las que nos ofrecen nuestros datos. Si nuestras variables están relacionadas entre sí las diferencias entre los valores observados y los esperados serán grandes y la chi será alta. El sumatorio de estas diferencias para cada casilla de nuestra tabla es la chi cuadrado.

Vamos a verlo con un ejemplo:



El primer paso es calcular las frecuencias absolutas esperadas, que se calculan como el producto de los marginales para cada celda:

E absoluta de celda = marginal de fila por marginal de columna dividido entre número de casos

E hombres y satisfechos = (181 * 201)/ 306 = 119
E mujeres satisfechas = (125 * 201) /306 = 82
E hombres e insatisfechos = (181 * 169)/306= 100
E mujeres e insatisfechas = (125 * 169) /306= 69

El siguiente paso es poner en relación para cada celda las frencuencias esperadas recién calculadas, con las frecuencias observadas en nuestra muestra. Para ello, se aplica el cuadrado de la resta entre el valor observado - el esperado y se divide el resultado por el valor esperado.

[(nij- eij) ^2]/ eij

celda 11. hombres satisfechos= `[(112-119)^2] /119 = 0,412
celda 12. mujeres satisfechas = [(89-82)^2] /82 = 0,598
celda 21. hombres insatisfechos= [(69-100)^2] /100 = 9,61
celda 22. mujeres insatisfechas= [(100-69)^2] /69 = 13,925

Solo queda sumar los cuatro valores obtenidos para hallar la chi cuadrado: (0,412+ 0,598 + 9,61 + 12,925)= 24,547

La chi cuadrado de nuestro ejemplo es de 24,547. Este valor de por sí solo no nos dice nada, por ello, paquetes estadísticos como SPSS nos calcula el coeficiente de significación cuya interpretación se explica en el artículo principal de tablas de contingencia.

Viendo la manera en la que se calcula la chi es fácil entender porque los valores de la chi crecen a medida que aumenta el número de casos. Es por ello que para evitar el efecto del tamaño de la muestra hayan surgido otros estadísticos basados en chi cuadrado que tratan de mitigar los efectos del tamaño muestral, como la la phi, la V de Cramer o el coeficiente de contingencia. Si quiere ver cómo se calculan estos estadísticos vaya al artículo principal sobre tablas de contingencia.

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Artículo principal: Tablas de contingencia

Cálculo Tau de Goodman

Como hemos dicho en la entrada sobre Tablas de contingencia , la Tau de Goodman es un estadístico utilizado para medir la fuerza de la relación entre dos variables nominales. Al igual que lambda o el Coeficiente de incertidumbre es un estadístico basado en el error, por lo que el primer paso es calcular dichos errores. Su cálculo es similar al de Lambda, aunque es algo más complejo. Al contrario que Lambda toma en consideración para calcular el error todas las categorías de respuesta y no únicamente la que más casos tiene, por lo que el cálculo de los errores es algo más complejo. Para calcular la Tau hay que calcular primero los errores que se cometen al asignar aleatoriamente los casos para la variable dependiente. Veamos cómo se calculan los errores con el siguiente ejemplo:
Cálculo Error tipo 1 o error no condicionado. Es el error que se produce al estimar el valor de un caso en la variable dependiente, sin tener en cuenta la información procedente de la variable independiente. ∑_i^k▒〖(n-fi)/n x fi〗 Donde ”k” es el número de casos de la variable dependiente. “n” el número total de casos y “fi” la frecuencia de la categoría i: Error categoría satisfechos = [(540-215)/540] *215 = 129,4 Error categoría ni satis/ni insatis= = [(540-145)/540] *145 = 106,06 Error de la Categoría insatisfecho = = [(540-180)/540] *180 = 355,46 Total de errores tipo 1 = 129,4 + 106,06 + 344,46= 355,46

Cálculo de error de tipo 2 o condicionado:
El cálculo de este error procede de la misma manera pero su cálculo no se realiza para los marginales de columna, sino que se calcula por separado para cada una de las categorías de la variable independiente, columnas 1 y2. E2=∑^C▒∑_(i=1)^K▒(Ni-n)/Ni x ni Donde ni es la frecuencia de cada celda de la variable dependiente dentro de cada celda de la variable independiente. Ni es el total de casos de cada categoría de la independiente. Error hombres satisfechos= [(266-114)/266] *114 = 65,14 Error hombres ni-ni= [(266-60)/266] *60 = 46,47 Error hombres insatisfechos = [(266-92)/266] * 92= 60,18 Error mujeres satisfechas = [(274-101)/274] *101 = 63,77 Error mujeres ni-ni = [(274-85)/274] *85 = 58,63 Error mujeres insatisfechas = [(274-88)/274] *88 = 59,74 Error tipo 2 = (65,14 + 46,47+ 60,18+ 63,77+ 58,63 + 59,74) = 353,93 

 Tau= E1 – E2/ E1 = 0,004 Lo que daría una salida en SPSS de 0 indicando que no hay relación entre las variables. O que utilizando los valores de la variable sexo no conseguimos reducir el error al tratar de predecir a que categoría de la variable satisfacción pertenece un caso cualquiera.

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Artículo principal: Tablas de contingencia Cálculo de lambda

Cálculo de Lambda

En esta entrada solo se explica como calcular la lambda, estadístico usado en las tablas de contingencia. Si quiere saber más sobre cómo se interpreta y se pide en SPSS vaya al artículo Tablas de contingencia

λ= (error no condicionado-error condicionado)/(error no condicionado)

Cómo hemos dicho en el artículo sobre tablas de contingencia hay tres posibles valores de lambda: simétrico, variable 1 como dependiente y variable 2 como dependiente. Veamos cómo se calcula lambda para un ejemplo concreto en el que usamos el sexo como variable independiente.



En primer lugar tenemos que calcular los errores: condicionado y no condicionado.

El error no condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente no están condicionadas a otra variable. Por ejemplo, si en nuestro ejemplo quisiéramos estimar la satisfacción de un sujeto cualquiera diríamos que el sujeto está muy insatisfecho, porque es la categoría con mayor número de casos. El error no condicionado sería la suma de las frecuencias del resto de categorías (desde insatisfecho hasta muy satisfecho partido por el número de casos) que sería igual a (49 + 87 + 112 + 126)/500 = 374/500= 0,748. El error no condicionado sería de 0,748, un error muy alto. Calculemos ahora el error condicionado.

El error condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente están condicionadas a los atributos de una variable independiente. Si utilizamos la variable sexo para estimar la satisfacción de un sujeto tendremos un error condicionado a la variable sexo. Veamos cómo calcularlo para nuestros datos.

frec condicionada hombres= 13 + 39 + 52 + 78 + 78 = 182
frec condicionada mujer= 36 + 48 + 48 + 48 = 180

En el caso de los hombres hemos dejado fuera a los muy satisfechos que es la variable con más casos, aunque en este caso tiene el mismo número que la categoría satisfecho. En el grupo de mujeres hemos dejado fuera a los que no están ni satisfechos ni insatisfechos pues son el grupo con más casos.

A continuación se dividen las dos frecuencias obtenidas entre el número total de casos.

182/500= 0,364
180/500= 0,36

Solo queda sumar para obtener el error condicionado: 0,364 + 0,36= 0,724

Calculados el error condicionado y el no condicionado solo resta aplicar la fórmula de lambda.

λ= (0,748 - 0,724)/ 0,748 = 0,024/0,748 = 0,0321

En nuestro ejemplo se reduce el error en 0,0321 al utilizar el sexo como variable independiente, lo cual es una mejoría muy baja.

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Artículo principal: Tablas de contingencia

Tabla de contingencia

Requisitos
Cómo calcular una tabla de contingencia en SPSS
Interpretación Estadísticos
Ejemplos 

Las tablas de contingencia son tablas que ponen en relación los datos de dos variables distintas. A través de un análisis de tabla de contiengencia podremos saber como se relacionan dos variables entre sí. Es uno de los análisis más sencillos y a la vez más utilizados en investigación social y de mercado.

1. Requisitos:

Dos variables categóricas. Si la variable es métrica o interval la tabla de contingencia no sería el análisis adecuado y habria que acudir a otro tipo de análisis o recodificar la variable para convertirla en nominal u ordinal. Al tomar esta decisión perderíamos información en favor de la claridad y sencillez que aporta un análisis de tabla de contingencia.

2. Cómo calcular una tabla de contingencia en SPSS:

La ruta a seguir en el SPSS es: Análisis/Estadísticos descriptivos/Tablas de contingencia
Procedimiento: Una variable en la fila y otra variable en la columna. En el menú casilla pedimos el porcentaje por columna, además de la frecuencia de observados que sale en SPSS por defecto. Además, en el menú estadísticos pediremos la chi cuadrado. Con esto tenemos un primer análisis de tabla de contingencia.

3. Interpretación

Según nuestros datos, generados a partir de dos variables aleatorias, hay 500 personas, 267 hombres y 233 mujeres. 117 personas (un 23,4%) están muy insatisfechas. De ellas, hay 63 hombres, es decir un 23,6% de los hombres, que están muy insatisfechos, mayor porcentaje que entre las mujeres con un 23,2%.

4. Estadísticos

A simple vista no parece que haya mucha diferencia entre la satisfacción de hombres y mujeres, por lo que parece que sexo y satisfacción son variables independientes entre sí. Sin embargo, el ojo de buen cubero no es suficiente y es necesario recurrir a algún tipo de test que sirva para estudiar la dependendica entre las dos variables.

Chi cuadrado:

Estudia la relación entre las variables. Se selecciona en el menú estadístico de la tabla de contingencia. La hipótesis nula a contrastar es la independencia de las variables, siendo la
dependencia la hipótesis alternativa.

Al pedir el chi cuadrado SPSS nos da su valor, que se calcula al poner en relación los valores observados con los esperados. En nuestro caso la Chi-cuadrado es de 3,157. Esto de por sí solo no nos dice mucho, sin embargo SPSS también nos facilita el nivel de significación que en este caso es de 0,532. Este nivel indica la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de independencia siendo cierta. Si esta probabilidad es menor que 0,05 se rechaza la hipótesis nula y en consecuencia diremos que las variables son dependientes entre sí. En nuestro ejemplo, el nivel de significación es de 0,532, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula y decimos que las variables son independientes entre sí, o que no guardan una relación de dependencia. Para ver cómo se calcula la chi cuadrado pincha sobre el enlace.

Cosas a considerar de chi cuadrado:

La chi cuadrado está muy influenciada por el tamaño muestral. De modo que cuando tenemos muestras grandes la chi crece y es más fácil rechazar la hipótesis nula de independencia.
Para que el contraste de la chi sea estadísticamente válido cada celda de la tabla deberá tener una frecuencia esperada de 5. En nuestro ejemplo, como se ve en la línea de texto bajo la tabla de ejemplo no hay ninguna casilla que tenga menos de 5, por lo que nuestro test será estadísticamente válido. En el caso de que haya celdas con menos de 5 observaciones una posible solución es la recodificación de una variable con muchas categorías en una con menor número de categorías. Chi cuadrado puede funcionar con un porcentaje pequeño de celdas en las que se espere una frecuencia inferior a 5, pero con más de un 20% de las casillas con una frecuencia menor a 5 el test deja de ser fiable. Hasta ahora solo sabemos si existe o no dependencia entre las variables, pero no sabemos nada acerca del tipo de relación entre las variables . El siguiente grupo de estadísticos sirve para medir el grado de relación entre las variables.

Estadísticos para medir la fuerza de la relación:

En el menú estadísticos dentro de tabla de contingencia de SPSS es posible seleccionar varios estadísticos para medir la fuerza de la relación. Es importante saber si nuestras variables son nominales u ordinales, ya que según sea el tipo de variable elegiremos uno u otro estadístico. Cuando al menos una de nuestras variables es nominal debemos escoger los estadísticos para variables nominales. Si fueran las dos ordinales podríamos seleccionar estadísticos para variables ordinales que aportan mayor información.

4.a Estadísticos para variables nominales:

Medidas que tienen que ver con el valor de Chi cuadrado:

La chi cuadrado nos avisa de si hay o no relación pero no nos habla muy bien de la fuerza de la relación, ya que su valor se haya relacionado con el tamaño muestral y no está acotado. Por ello, hay una serie de estadísticos basados en chi que corrigen este problema teniendo en cuenta el número casos.



 Como se puede observar, los datos de los tres estadísticos coinciden en la tabla de nuestro ejemplo. Phi y Cramer siempre coinciden cuando al menos una de las variables tiene dos categorías de respuesta. El coeficiente de contingencia no es exactamente el mismo, aunque en este caso varía solo en el tercer decimal, que no sale por defecto en SPSS, por lo que coincide con los otros dos estadísticos. Veamos ahora estos estadísticos por separado: -Phi: Permite medir el grado de relación de dos variables. Se utiliza en el caso especial de tablas con dos filas y dos columnas (2x2). Valores cercanos a 0 indican poca relación y valores cercanos a 1 indican mucha fuerza en la relación. Se calcula como la raíz cuadrada de chi cuadrado entre el número de casos.

Se fórmula es: ϕ=√χ2/n donde χ2 es el valor de la chi y n es igual al número de casos. Aunque en nuestro ejemplo no haría falta recurrir a phi ni a ningún otro estadístico, ya que la chi cuadrado nos mostró que no había relación de dependencia entre las variables, la hemos pedido con objeto de ilustrar el ejemplo. El valor de phi es de 0,079 lo que indica una relación muy baja. Además, el coeficiente de significación sigue alertando de que no hay relación de dependencia entre ambas variables.

  -Coeficiente de contingencia: Es una prolongación de la phi para variables con más de dos categorías. Sin embargo, sus valores no están normalizados y su límite es menor que 1. Para conocer el límite máximo de C deberíamos calcularlo. Por ello, para ahorrar tiempo, se suele utilizar la V de cramer que sí está normalizada y tiene el límite máximo en 1, lo que indicaría una relación de dependencia perfecta. El coeficiente de contingencia se calcula como la raíz cuadrada de χ2 entre χ2 más el número de casos. C=√χ2/(χ2+n) Donde χ2 es el valor de chi cuadrado

  -V de Crammer: Es quizás el estadístico más utilizado en las tablas de contingencia junto con Lamda. Su origen es similar al de Phi, aunque es válido para variables con más de dos categorías de respuesta. Toma valores entre 0 y 1. 1 indica máxima dependencia y 0 independencia. El valor de la V para tablas con alguna variable con dos categorías coincide con el valor de phi. La V de Cramer se obtiene ajustando phi para el número de filas o columnas de la tabla, cualquiera que sea el menor. V= ϕ2/min⁡〖(r-1)(c-1)〗 Donde ϕ2 es el valor de phi, r es el número de filas y c el número de columnas. En nuestro ejemplo, la variable sexo tiene dos filas, por lo que el mínimo de (r-1)(c-1) = 2-1= 1. Elegimos la variable sexo que es la que menos categorías tiene y le restamos 1. La phi, por tanto, se divide por 1, motivo por el que la V de Cramer da el mismo resultado que la Phi cuando al menos una de las variables tiene solo dos categorías.

Medidas basadas en el error proporcional

- Lambda: Estadístico utilizado para determinar si usar los resultados de una de las variables sirve para predecir los resultados de otra. Lambda toma valores entre 0 y 1, donde 0 indica independencia entre las variables y 1 total dependencia. Lambda igual a 1 implicaría que la variable independiente consigue reducir a 0 el error de la variable dependiente y digo implicaría porque es un caso extremo que no se suele dar. En nuestro ejemplo implicaría que conociendo la variable sexo podríamos averiguar que satisfacción tiene un sujeto cualquiera, algo poco probable incluso asumiendo un cierto grado de dependencia entre variables. Por defecto, SPSS nos saca tres valores de Lambda diferentes. Dos asimétricas cuando una de las variables puede ser considerada como dependiente y otra simétrica cuando no hay razón para pensar que hay una variable dependiente de la otra. Cómo calcular lambda

- Tau de Goodman Se parece a la Lambda aunque su cálculo es algo más complejo pues tiene en cuenta todas las categorías de respuesta y no únicamente la que más casos contempla. Al igual que Lambda adopta valores de 0 a 1, dónde 0 es independencia y 1 total dependencia. El valor de la Tau se interpreta como el porcentaje que mejora el error la inclusión de la variable independiente en la predicción de los valores de la variable dependiente. Por tanto, utilizar el sexo como variable independiente mejoraría la predicción de la satisfacción en un 1% un valor muy bajo y que sigue sin ser significativo estadísticamente. Cómo calcular la Tau de Goodman

4.b Medidas de asociación para variables ordinales:

Cuando nuestras dos variables son ordinales podemos elegir ciertos estadísticos que averiguan si conocer el orden de los casos en una variable resulta útil para predecir el orden de otra. Estos estadísticos toman valores entre -1 y 1. Donde 0 es independencia, -1 dependencia negativa perfecta (A mayor “x” menor “y” y viceversa), y 1 dependencia positiva perfecta. Entre estos estadísticos encontramos Gamma, Tau-b, Tau-c y D de Sommers. Tienen en común la consideración del ordenamiento de las categorías de las variables considerando todos los pares posibles en una tabla.

  Gamma: La desventaja de este estadístico es que tiende a sobrestimar el grado de relación, por lo que es más común el uso de otros estadísticos para variables ordinales. Suele presentar valores mayores que las tau b y c. Su cálculo se realiza poniendo en relación los casos concordantes con los casos discordantes. Este estadístico no tiene en cuenta el número de casos empatados y tampoco hace correciones según el tamaño de la tabla. Cómo calcular Gamma .

  Tau-b de Kendall: La Tau b de Kendall es parecida a Gamma, aunque tiene en cuenta el número de casos empatados. Toma valores entre -1 y 1, aunque no alcanza los valores extremos en tablas que no son cuadradas, es decir, en tablas con diferente número de filas que de columnas. Cómo calcular la Tau-b de Kendall. 

 Tau-c: : Es parecida a la Tau-b. Alcanza valores extremos en tablas que no son cuadradas, por lo que su uso es recomendable en tablas de tipo rectangular. Para ver su cálculo ir al enlace de la Tau-b.

  D de Sommers: La D de Sommers es un estadístico similar a la Tau-b, aunque su fórmula varía ligeramente. Sus valores también oscilan entre -1 y 1. Presenta tres resultados diferentes: variable x como dependiente, variable y como dependiente y versión simétrica. Cómo calcular la D de Sommers A continuación vamos a ver un par de ejemplos del uso y la interpretación de una tabla de contingencia:

Ejemplos:

Ejemplo 1. Una variable nominal y otra ordinal

Vamos a ver un ejemplo en el que realizamos un análisis de contingencia con dos variables, una de tipo nominal y otra de tipo ordinal. Nuestro ejemplo va a estar basado en el estudio CIS 2980 sobre el último debate de la nación de febrero de 2013. Hemos seleccionado las variables P2 (interés de los debates) y P25 (sexo). Dentro del menú de SPSS análizar/estadísticos descriptivos/tablas de contingencia colocamos la variable sexo en la columna y en la fila la variable interés. En el menú casillas pediremos los porcentajes por columna, además de los observados que salen por defecto. En el menú estadísticos pediremos los estadíscos para variables nominales, ya que al menos una de nuestras variables es de tipo nominal. Pediremos, por tanto, chi, phi, V de Crammer, Coeficiente de contingencia, Lambda y la Tau de Goodman. Le damos a aceptar y obtenemos la siguiente salida en la hoja de resultados.

  

 Echando un primer ojo a la tabla vemos que no hay una relación aparente entre las variables sexo e interés por el debate. En términos generales, hombres y mujeres parecen presentar porcentajes muy similares de interés. Por ejemplo, un 28,2% de los hombres creen que para la gente estos debates son bastante interesantes, porcentaje similar al de las mujeres con un 29,4%. Sin embargo, el nivel de significación de la chi cuadradado es de 0,00, lo que indica que estas dos variables se hayan relacionadas de algún modo. Ya hemos alertado que la chi cuadrado es muy sensible a determinados supuestos. Uno de ellos es que un elevado porcentaje de casillas con una frecuencia inferior a 5 imposibilita el uso de este estadístico. En este caso hay 2 casillas (un 16,7% del total) que tienen una frecuencia observada inferior a 5. Como la frecuencia observada difiere mucho de la frecuencia esperada, el estadístico se vuelve significativo a pesar de que no existe relación verdadera entre ambas variables. Por ende, todos aquellos estadísticos basados en la chi cuadrado indicarán cierto grado de relación entre las variables. Sin embargo, aquellos basados en el error parecen ser algo más resistentes a este efecto, por lo que si nos encontramos con un caso en el que hay muchas casillas con frecuencias pequeñas y no queremos recodificar las variables, lo más indicado será el uso de los estadísitcos basados en el error, como Lambda o la Tau de Goodman, aunque tampoco son inmunes, por lo que lo más apropiado es recodificar las variables si la lógica lo permite.

   

 En este caso, el problema es de fácil solución, ya que solo tenemos que eliminar del análisis los casos que no supieron o no que quisieron contestar a esta pregunta. De ahí la importancia de depurar bien la base de datos y de eliminar valores perdidos en los análisis a no ser de que pretendamos buscar una relación causal que motive esa no respuesta. A continuación volvemos a realizar el análisis pero dejando fuera los casos no sabe y no contesta.

 

Cómo se puede observar ahora el nivel de siginificación es de 0,227, por tanto, mayor que 0,05. Por ello, no podemos rechazar la hipótesis inicial y decimos que las variables sexo e interés no están relacionadas entre sí. El resto de estadísticos basados en la chi cuadrado ahora tampoco son significativos y su valor ha bajado considerablemente hasta 0,053.

 

Ejemplo 2. Una variable nominal y otra ordinal

Vamos a ver otro ejemplo parecido pero con variables que guardan cierta relación entre ellas para ver cómo se comportan nuestros estadísticos: La base de datos que vamos a usar es el estudio 2833 del CIS sobre hábitos deportivos en 2010. Las variables que vamos a usar son P1 (interés por los deportes) y la P65 (sexo).

   

Un 74,3% de los hombres se interesa mucho o bastante por el deporte, mientras que entre las mujeres este porcentaje es de un 51,1%. Se puede apreciar, por tanto, cierto grado de relación entre ambas variables pero para asegurarnos debemos comprobar pidiendo los estadísticos correspondientes.

   

Como vemos en este estudio hay muchos casos (n= 8.909) por lo que la chi cuadrado saldrá muy alta y probablemente significativa. Es necesario pedir los estadísticos basados en chi cuadrado que como hemos visto tienen en cuenta el número de casos.

   

 La relación entre ambas variables es fuerte ya que la V de Crammer tiene un valor de 0,271. En datos procedentes de encuestas es raro encontrar estadísticos con grados muy altos de relación. Normalmente a modo de norma no escrita en investigación social podemos considerar una relación fuerte cuando la V de Crammer es mayor que 0,240. Esta norma no es fija y como siempre además del estadístico que resume la información de la tabla es preferible examinar detalladamente la tabla.

 

Por el contrario, en los estadísticos basados en el error obtenemos menor fuerza de relación. Según el estadístico lambda conocer el interés por los deportes de una persona nos ayuda a reducir el error de la variable sexo en un 21,8% un porcentaje a tener en cuenta. Sin embargo, conocer el sexo no nos ayuda a conocer el interés, de hecho SPSS nos alerta de que no es posible dicho cálculo porque el error típico asintótico es igual a 0. Por tanto, nuestras dos variables se hayan relacionadas, aunque dicha relación no es suficiente para realizar buenas predicciones de una variable conociendo los valores de la otra.

Ejemplo 3. Dos variables ordinales

Por último, vamos a ver un ejemplo en el que ponemos en relación dos variables de tipo ordinal. El estudio que vamos a utilizar es el mismo del ejemplo anterior 2833 del CIS sobre hábitos deportivos. Hemos elegido las variables edad e interés por los deportes. Como en el caso anterior hemos eliminado del análisis los casos perdidos. La variable continua edad la hemos recodificado en una variable ordinal según intervalos óptimos a la variable interés deporte para que presente las mayores diferencias posibles entre estas dos variables. Antes de nada, hemos de comprobar cómo están ordenadas las categorías de nuestras variables. La variable P1 (interés deporte) está ordenada de menor a mayor, mientras que la variable edad está codificada de mayor a menor. A fin de facilitar el análisis es aconsejable hacer que nuestras variables presenten un mismo tipo de ordenación. Para ello,  recodificamos P.1 en orden inverso.

 

 Los estadísticos para variables ordinales muestran una ligera relación de carácter negativo. A mayor edad, menor interés por el deporte y viceversa. En la tabla de contingencia podemos ver que un 30% de los menores de 27 están muy interesados por el deporte, mientras que este porcentaje va disminuyendo progresivamente hasta los mayores de 72 con un 12,4%. Las categorías mucho y nada interrelacionan muy bien con la edad, sin embargo las categorías bastante y poco presentan porcentajes similares para todas las edades, por lo que lo estadísticos no muestran una relación muy pronunciada. Aún así queda patente el mayor interés de los más jóvenes por los deportes. La significación aproximada es menor que 0,5, por lo que dicha relación puede ser extrapolada al conjunto de la población. Es decir, las diferencias observadas en nuestra muestra son extrapolables al conjunto de la población, en este caso los españoles.

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