Casos concordantes: P= 68.692
Casos discordantes: Q= 35.456
Empatados en x: Tx= 50.360
Empatados en y: Ty= 48.878
Total empatados: T= 99.238
Cálculo D de Sommers para x como dependiente:
Dyx=(P-Q)/(P+Q+Ty)
Dyx= (68.692-35.456)/(68.692+35.456+48.878)= 0,217
Cálculo D de Sommers para y como dependiente:
Dxy=(P-Q)/(P+Q+Tx)
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 50.360)= 0,215
Cálculo D de Sommers simétrica
Dsimetrica= (P-Q)/(P+Q+(T/2))
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 49.619)= 0,216
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miércoles, 20 de noviembre de 2013
Cálcular D de Sommers
En esta entrada vamos a ver cómo se calcula la D de Sommers. Su cálculo es parecido a la Gamma y a la Tau-b y c de Kendall .
Al igual que la Tau-b o la Tau-c se calcula teniendo en cuenta el número de casos concordantes, discordantes y empatados resultante del cruce de dos variables. La manera de calcular estos casos ha sido ya explicada en los enlaces arriba citados, por lo que solo resta aplicar la fórmula de la D de Sommers. Hay tres versiones de este estadístico: variable x como dependiente, variable y como dependiente o versión simétrica. Las tres salidas son presentadas por defecto en SPSS. Veamos cómo calcularlas con el siguiente ejemplo:
Casos concordantes: P= 68.692
Casos discordantes: Q= 35.456
Empatados en x: Tx= 50.360
Empatados en y: Ty= 48.878
Total empatados: T= 99.238
Cálculo D de Sommers para x como dependiente:
Dyx=(P-Q)/(P+Q+Ty)
Dyx= (68.692-35.456)/(68.692+35.456+48.878)= 0,217
Cálculo D de Sommers para y como dependiente:
Dxy=(P-Q)/(P+Q+Tx)
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 50.360)= 0,215
Cálculo D de Sommers simétrica
Dsimetrica= (P-Q)/(P+Q+(T/2))
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 49.619)= 0,216
Casos concordantes: P= 68.692
Casos discordantes: Q= 35.456
Empatados en x: Tx= 50.360
Empatados en y: Ty= 48.878
Total empatados: T= 99.238
Cálculo D de Sommers para x como dependiente:
Dyx=(P-Q)/(P+Q+Ty)
Dyx= (68.692-35.456)/(68.692+35.456+48.878)= 0,217
Cálculo D de Sommers para y como dependiente:
Dxy=(P-Q)/(P+Q+Tx)
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 50.360)= 0,215
Cálculo D de Sommers simétrica
Dsimetrica= (P-Q)/(P+Q+(T/2))
Dxy=(68.692-35.456)/(68.692+35.456+ 49.619)= 0,216
viernes, 15 de noviembre de 2013
Cálculo de Tau b de Kendall.
Su cálculo es parecido a Gamma pero a diferencia de esta tiene en cuenta los casos empatados. Tiene la ventaja de que en tablas cuadradas (con mismo número de categorías para filas y columnas) puede alcanzar valores entre -1 y 1. En otro tipo de tablas es mejor recurrir a tau-c que puede obtener valores entre -1 y 1 cuando se produce una relación perfecta.
Para calcular la tau b, o la tau c, lo primero que hay que hacer es calcular los casos concordantes, discordantes y empatados. Como en el artículo sobre Gamma v ya hemos visto cómo se calculan los casos concordantes y discordantes vamos a ver cómo se calcularían los casos empatados:
Los casos empatados serían AB, CD Y EF para la variable x
Los casos empatados para la variable y serían AC, AE, CE, BD, BF, DF
Vamos a ver su cálculo para un ejemplo concreto:
102*50= 5.100
50*30= 1.500
102*30= 3.060
102*56= 5.544
etc... hasta completar la siguiente tabla
Los casos empatados para la "x" son 50.360, mientras que para la "y" son 48,878 Como en el artículo de Gamma ya hemos calculado los casos concordantes y discordantes ya podemos aplicar la fórumla de la tau-b:
Casos concordantes P= 68.692
Casos discordantes Q= 35.456
Dónde "P" son los casos concordantes, "Q" los casos discordantes, "Tx" los casos empatados para la variable x y "Ty" para la variable y.
Aplicando la fórmula nuestra b de kendall sería:
(68.692 - 35.456)/ Raiz ((68692+ 35.456+ 50.360) * (68692+ 35.456+ 48.878)) = 0,216
La tau-b de kendall es igual a 0,216, lo que indica cierta grado de relacción, aunque no muy alto.
Los casos empatados serían AB, CD Y EF para la variable x
Los casos empatados para la variable y serían AC, AE, CE, BD, BF, DF
Vamos a ver su cálculo para un ejemplo concreto:
102*50= 5.100
50*30= 1.500
102*30= 3.060
102*56= 5.544
etc... hasta completar la siguiente tabla
Los casos empatados para la "x" son 50.360, mientras que para la "y" son 48,878 Como en el artículo de Gamma ya hemos calculado los casos concordantes y discordantes ya podemos aplicar la fórumla de la tau-b:
Casos concordantes P= 68.692
Casos discordantes Q= 35.456
Dónde "P" son los casos concordantes, "Q" los casos discordantes, "Tx" los casos empatados para la variable x y "Ty" para la variable y.
Aplicando la fórmula nuestra b de kendall sería:
(68.692 - 35.456)/ Raiz ((68692+ 35.456+ 50.360) * (68692+ 35.456+ 48.878)) = 0,216
La tau-b de kendall es igual a 0,216, lo que indica cierta grado de relacción, aunque no muy alto.
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Artículo principal: Tablas de contingencia Gamma Cálculo D de Sommerssábado, 9 de noviembre de 2013
Cálculo de Gamma
Se puede interpretar como la reducción del error cometido al predecir el ordenamiento de los casos de una variable dependiente mediante el conocimiento de la ordenación de una variable independiente.
En este artículo se muestra cómo calcular Gamma. Para conocer qué es Gamma vaya al artículo sobre Tablas de contingencia
Gamma se calcula con la siguiente fórmula:
(C-D)/(C+D)
Dónde C= Casos concordantes y D a casos discordantes
Por tanto, el primer paso para calcular Gamma es calcular el número de casos concordantes y discordantes.
C= Casos concordantes. Son pares que se encuentran ordenados en el mismo sentido dentro de cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares AD; AF; CF que se calcularía cómo A*(D+F) + C*F
D= Casos discordantes. Son casos que se encuentran ordenados en sentido inverso en cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares BC; BE; DE que se calcularía cómo B*(C+E)+ D*E
Vamos a ver otro ejemplo de cálculo de casos concordantes y discordantes con dos variables ordinales de tres categorías cada una:
Casos concordantes: 102*(99+88+88+102) + 50*(88+102) + 56*(88+102) 99*102 = 68.692
Casos discordantes: 66*(99+88+50+30) + 88*(88+30) + 56*(50+30)+ 99*30= 35.456
Calculados los casos concordantes y discordantes solo queda aplicar la fórmula de Gamma:
GAMMA= (68.692 - 35.456) / (68.692 + 35.456)= 0,319 En nuestro caso Gamma vale 0,319 lo que indica cierto grado de relación positiva, es decir, conocer el orden de la variable independiente puede ayudarnos a predecir el orden de la variable dependiente.
Como hemos dicho en el artículo sobre tablas de contingencia, Gamma puede inflar la relación existente entre dos variables al no tener en cuenta el número de casos empatados. La tau de kendall es otro estadístico cuyo cálculo es similar al de Gamma pero que además incluye los casos empatados.
C= Casos concordantes. Son pares que se encuentran ordenados en el mismo sentido dentro de cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares AD; AF; CF que se calcularía cómo A*(D+F) + C*F
D= Casos discordantes. Son casos que se encuentran ordenados en sentido inverso en cada variable. En nuestro ejemplo serían los pares BC; BE; DE que se calcularía cómo B*(C+E)+ D*E
Vamos a ver otro ejemplo de cálculo de casos concordantes y discordantes con dos variables ordinales de tres categorías cada una:
Casos concordantes: 102*(99+88+88+102) + 50*(88+102) + 56*(88+102) 99*102 = 68.692
Casos discordantes: 66*(99+88+50+30) + 88*(88+30) + 56*(50+30)+ 99*30= 35.456
Calculados los casos concordantes y discordantes solo queda aplicar la fórmula de Gamma:
GAMMA= (68.692 - 35.456) / (68.692 + 35.456)= 0,319 En nuestro caso Gamma vale 0,319 lo que indica cierto grado de relación positiva, es decir, conocer el orden de la variable independiente puede ayudarnos a predecir el orden de la variable dependiente.
Como hemos dicho en el artículo sobre tablas de contingencia, Gamma puede inflar la relación existente entre dos variables al no tener en cuenta el número de casos empatados. La tau de kendall es otro estadístico cuyo cálculo es similar al de Gamma pero que además incluye los casos empatados.
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Artículo principal: Tablas de contingenciamiércoles, 6 de noviembre de 2013
Cálculo de Chi cuadrado
Como hemos visto en el artículo sobre Tablas de contingencia , la chi cuadrado es un estadístico que avisa de la relación entre dos variables categóricas. Para calcularlo hay que poner en relación las frecuencias esperadas (las que se darían en situación de independencia de las variables) con las frecuencias observadas (las que nos ofrecen nuestros datos. Si nuestras variables están relacionadas entre sí las diferencias entre los valores observados y los esperados serán grandes y la chi será alta. El sumatorio de estas diferencias para cada casilla de nuestra tabla es la chi cuadrado.
Vamos a verlo con un ejemplo:
El primer paso es calcular las frecuencias absolutas esperadas, que se calculan como el producto de los marginales para cada celda:
E absoluta de celda = marginal de fila por marginal de columna dividido entre número de casos
E hombres y satisfechos = (181 * 201)/ 306 = 119
E mujeres satisfechas = (125 * 201) /306 = 82
E hombres e insatisfechos = (181 * 169)/306= 100
E mujeres e insatisfechas = (125 * 169) /306= 69
El siguiente paso es poner en relación para cada celda las frencuencias esperadas recién calculadas, con las frecuencias observadas en nuestra muestra. Para ello, se aplica el cuadrado de la resta entre el valor observado - el esperado y se divide el resultado por el valor esperado.
[(nij- eij) ^2]/ eij
celda 11. hombres satisfechos= `[(112-119)^2] /119 = 0,412
celda 12. mujeres satisfechas = [(89-82)^2] /82 = 0,598
celda 21. hombres insatisfechos= [(69-100)^2] /100 = 9,61
celda 22. mujeres insatisfechas= [(100-69)^2] /69 = 13,925
Solo queda sumar los cuatro valores obtenidos para hallar la chi cuadrado: (0,412+ 0,598 + 9,61 + 12,925)= 24,547
La chi cuadrado de nuestro ejemplo es de 24,547. Este valor de por sí solo no nos dice nada, por ello, paquetes estadísticos como SPSS nos calcula el coeficiente de significación cuya interpretación se explica en el artículo principal de tablas de contingencia.
Viendo la manera en la que se calcula la chi es fácil entender porque los valores de la chi crecen a medida que aumenta el número de casos. Es por ello que para evitar el efecto del tamaño de la muestra hayan surgido otros estadísticos basados en chi cuadrado que tratan de mitigar los efectos del tamaño muestral, como la la phi, la V de Cramer o el coeficiente de contingencia. Si quiere ver cómo se calculan estos estadísticos vaya al artículo principal sobre tablas de contingencia.
El primer paso es calcular las frecuencias absolutas esperadas, que se calculan como el producto de los marginales para cada celda:
E absoluta de celda = marginal de fila por marginal de columna dividido entre número de casos
E hombres y satisfechos = (181 * 201)/ 306 = 119
E mujeres satisfechas = (125 * 201) /306 = 82
E hombres e insatisfechos = (181 * 169)/306= 100
E mujeres e insatisfechas = (125 * 169) /306= 69
El siguiente paso es poner en relación para cada celda las frencuencias esperadas recién calculadas, con las frecuencias observadas en nuestra muestra. Para ello, se aplica el cuadrado de la resta entre el valor observado - el esperado y se divide el resultado por el valor esperado.
[(nij- eij) ^2]/ eij
celda 11. hombres satisfechos= `[(112-119)^2] /119 = 0,412
celda 12. mujeres satisfechas = [(89-82)^2] /82 = 0,598
celda 21. hombres insatisfechos= [(69-100)^2] /100 = 9,61
celda 22. mujeres insatisfechas= [(100-69)^2] /69 = 13,925
Solo queda sumar los cuatro valores obtenidos para hallar la chi cuadrado: (0,412+ 0,598 + 9,61 + 12,925)= 24,547
La chi cuadrado de nuestro ejemplo es de 24,547. Este valor de por sí solo no nos dice nada, por ello, paquetes estadísticos como SPSS nos calcula el coeficiente de significación cuya interpretación se explica en el artículo principal de tablas de contingencia.
Viendo la manera en la que se calcula la chi es fácil entender porque los valores de la chi crecen a medida que aumenta el número de casos. Es por ello que para evitar el efecto del tamaño de la muestra hayan surgido otros estadísticos basados en chi cuadrado que tratan de mitigar los efectos del tamaño muestral, como la la phi, la V de Cramer o el coeficiente de contingencia. Si quiere ver cómo se calculan estos estadísticos vaya al artículo principal sobre tablas de contingencia.
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Artículo principal: Tablas de contingencia
Cálculo Tau de Goodman
Como hemos dicho en la entrada sobre Tablas de contingencia , la Tau de Goodman es un estadístico utilizado para medir la fuerza de la relación entre dos variables nominales. Al igual que lambda
o el Coeficiente de incertidumbre es un estadístico basado en el error, por lo que el primer paso es calcular dichos errores. Su cálculo es similar al de Lambda, aunque es algo más complejo. Al contrario que Lambda toma en consideración para calcular el error todas las categorías de respuesta y no únicamente la que más casos tiene, por lo que el cálculo de los errores es algo más complejo. Para calcular la Tau hay que calcular primero los errores que se cometen al asignar aleatoriamente los casos para la variable dependiente.
Veamos cómo se calculan los errores con el siguiente ejemplo:
Cálculo Error tipo 1 o error no condicionado. Es el error que se produce al estimar el valor de un caso en la variable dependiente, sin tener en cuenta la información procedente de la variable independiente. ∑_i^k▒〖(n-fi)/n x fi〗 Donde ”k” es el número de casos de la variable dependiente. “n” el número total de casos y “fi” la frecuencia de la categoría i: Error categoría satisfechos = [(540-215)/540] *215 = 129,4 Error categoría ni satis/ni insatis= = [(540-145)/540] *145 = 106,06 Error de la Categoría insatisfecho = = [(540-180)/540] *180 = 355,46 Total de errores tipo 1 = 129,4 + 106,06 + 344,46= 355,46
Cálculo de error de tipo 2 o condicionado:
El cálculo de este error procede de la misma manera pero su cálculo no se realiza para los marginales de columna, sino que se calcula por separado para cada una de las categorías de la variable independiente, columnas 1 y2. E2=∑^C▒∑_(i=1)^K▒(Ni-n)/Ni x ni Donde ni es la frecuencia de cada celda de la variable dependiente dentro de cada celda de la variable independiente. Ni es el total de casos de cada categoría de la independiente. Error hombres satisfechos= [(266-114)/266] *114 = 65,14 Error hombres ni-ni= [(266-60)/266] *60 = 46,47 Error hombres insatisfechos = [(266-92)/266] * 92= 60,18 Error mujeres satisfechas = [(274-101)/274] *101 = 63,77 Error mujeres ni-ni = [(274-85)/274] *85 = 58,63 Error mujeres insatisfechas = [(274-88)/274] *88 = 59,74 Error tipo 2 = (65,14 + 46,47+ 60,18+ 63,77+ 58,63 + 59,74) = 353,93
Cálculo Error tipo 1 o error no condicionado. Es el error que se produce al estimar el valor de un caso en la variable dependiente, sin tener en cuenta la información procedente de la variable independiente. ∑_i^k▒〖(n-fi)/n x fi〗 Donde ”k” es el número de casos de la variable dependiente. “n” el número total de casos y “fi” la frecuencia de la categoría i: Error categoría satisfechos = [(540-215)/540] *215 = 129,4 Error categoría ni satis/ni insatis= = [(540-145)/540] *145 = 106,06 Error de la Categoría insatisfecho = = [(540-180)/540] *180 = 355,46 Total de errores tipo 1 = 129,4 + 106,06 + 344,46= 355,46
Cálculo de error de tipo 2 o condicionado:
El cálculo de este error procede de la misma manera pero su cálculo no se realiza para los marginales de columna, sino que se calcula por separado para cada una de las categorías de la variable independiente, columnas 1 y2. E2=∑^C▒∑_(i=1)^K▒(Ni-n)/Ni x ni Donde ni es la frecuencia de cada celda de la variable dependiente dentro de cada celda de la variable independiente. Ni es el total de casos de cada categoría de la independiente. Error hombres satisfechos= [(266-114)/266] *114 = 65,14 Error hombres ni-ni= [(266-60)/266] *60 = 46,47 Error hombres insatisfechos = [(266-92)/266] * 92= 60,18 Error mujeres satisfechas = [(274-101)/274] *101 = 63,77 Error mujeres ni-ni = [(274-85)/274] *85 = 58,63 Error mujeres insatisfechas = [(274-88)/274] *88 = 59,74 Error tipo 2 = (65,14 + 46,47+ 60,18+ 63,77+ 58,63 + 59,74) = 353,93
Tau= E1 – E2/ E1 = 0,004 Lo que daría una salida en SPSS de 0 indicando que no hay relación entre las variables. O que utilizando los valores de la variable sexo no conseguimos reducir el error al tratar de predecir a que categoría de la variable satisfacción pertenece un caso cualquiera.
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Cálculo de Lambda
En esta entrada solo se explica como calcular la lambda, estadístico usado en las tablas de contingencia. Si quiere saber más sobre cómo se interpreta y se pide en SPSS vaya al artículo
Tablas de contingencia
λ= (error no condicionado-error condicionado)/(error no condicionado)
Cómo hemos dicho en el artículo sobre
tablas de contingencia
hay tres posibles valores de lambda: simétrico, variable 1 como dependiente y variable 2 como dependiente. Veamos cómo se calcula lambda para un ejemplo concreto en el que usamos el sexo como variable independiente.
En primer lugar tenemos que calcular los errores: condicionado y no condicionado.
El error no condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente no están condicionadas a otra variable. Por ejemplo, si en nuestro ejemplo quisiéramos estimar la satisfacción de un sujeto cualquiera diríamos que el sujeto está muy insatisfecho, porque es la categoría con mayor número de casos. El error no condicionado sería la suma de las frecuencias del resto de categorías (desde insatisfecho hasta muy satisfecho partido por el número de casos) que sería igual a (49 + 87 + 112 + 126)/500 = 374/500= 0,748. El error no condicionado sería de 0,748, un error muy alto. Calculemos ahora el error condicionado.
El error condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente están condicionadas a los atributos de una variable independiente. Si utilizamos la variable sexo para estimar la satisfacción de un sujeto tendremos un error condicionado a la variable sexo. Veamos cómo calcularlo para nuestros datos.
frec condicionada hombres= 13 + 39 + 52 + 78 + 78 = 182
frec condicionada mujer= 36 + 48 + 48 + 48 = 180
En el caso de los hombres hemos dejado fuera a los muy satisfechos que es la variable con más casos, aunque en este caso tiene el mismo número que la categoría satisfecho. En el grupo de mujeres hemos dejado fuera a los que no están ni satisfechos ni insatisfechos pues son el grupo con más casos.
A continuación se dividen las dos frecuencias obtenidas entre el número total de casos.
182/500= 0,364
180/500= 0,36
Solo queda sumar para obtener el error condicionado: 0,364 + 0,36= 0,724
Calculados el error condicionado y el no condicionado solo resta aplicar la fórmula de lambda.
λ= (0,748 - 0,724)/ 0,748 = 0,024/0,748 = 0,0321
En nuestro ejemplo se reduce el error en 0,0321 al utilizar el sexo como variable independiente, lo cual es una mejoría muy baja.
En primer lugar tenemos que calcular los errores: condicionado y no condicionado.
El error no condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente no están condicionadas a otra variable. Por ejemplo, si en nuestro ejemplo quisiéramos estimar la satisfacción de un sujeto cualquiera diríamos que el sujeto está muy insatisfecho, porque es la categoría con mayor número de casos. El error no condicionado sería la suma de las frecuencias del resto de categorías (desde insatisfecho hasta muy satisfecho partido por el número de casos) que sería igual a (49 + 87 + 112 + 126)/500 = 374/500= 0,748. El error no condicionado sería de 0,748, un error muy alto. Calculemos ahora el error condicionado.
El error condicionado, es el error de predicción cometido cuando las predicciones para los atributos de la variable dependiente están condicionadas a los atributos de una variable independiente. Si utilizamos la variable sexo para estimar la satisfacción de un sujeto tendremos un error condicionado a la variable sexo. Veamos cómo calcularlo para nuestros datos.
frec condicionada hombres= 13 + 39 + 52 + 78 + 78 = 182
frec condicionada mujer= 36 + 48 + 48 + 48 = 180
En el caso de los hombres hemos dejado fuera a los muy satisfechos que es la variable con más casos, aunque en este caso tiene el mismo número que la categoría satisfecho. En el grupo de mujeres hemos dejado fuera a los que no están ni satisfechos ni insatisfechos pues son el grupo con más casos.
A continuación se dividen las dos frecuencias obtenidas entre el número total de casos.
182/500= 0,364
180/500= 0,36
Solo queda sumar para obtener el error condicionado: 0,364 + 0,36= 0,724
Calculados el error condicionado y el no condicionado solo resta aplicar la fórmula de lambda.
λ= (0,748 - 0,724)/ 0,748 = 0,024/0,748 = 0,0321
En nuestro ejemplo se reduce el error en 0,0321 al utilizar el sexo como variable independiente, lo cual es una mejoría muy baja.
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