A partir de la matriz de correlaciones vemos que se
comienzan a formar dos grupos de variables que correlacionan altamente entre
sí. Por un lado, aborto, divorcio, eutanasia, homosexualidad y prostitución
presentan correlaciones altas entre sí, por lo que parecen conformar un primer
grupo.
En SPSS se pide desde el menú “analizar” + “Reducción de
dimensiones” + “Factor”
Como se aprecia hay 5 submenús que iremos viendo a medida
que avanzamos en el ejemplo y en los diferentes conceptos del análisis de
componentes principales.
Para que podamos trabajar con el análisis factorial es
preciso que nuestras variables se hallen correlacionadas entre sí. Ya hemos
examinado la matriz de correlaciones de nuestro ejemplo anteriormente y hemos
visto que correlacionaban entre sí. Para mayor precisión existen diferentes
estadísticos que nos informan sobre la adecuación de la matriz de correlaciones
para llevar a cabo el análisis factorial.
Desde el menú descriptivo podemos pedir algunos
estadísticos, así como diversas matrices que sirven para informarnos de la
bondad del ajuste de nuestro factorial y por ende de su viabilidad.
El determinante de la matriz de correlaciones da un primer
aviso de la adecuación de los datos al análisis factorial. El determinante
fluctúa entre 0 y 1 y es mejor cuanto más bajo, aunque no deberá ser 0. En nuestro ejemplo el determinante es de 0,06,
por lo que es propicio para realizar el factorial. Puedes consultar como
calcular el determinante de una matriz en el siguiente enlace.
El test de esfericidad de Barlett pone a prueba la hipótesis
nula de que la matriz de correlaciones es igual a la matriz identidad. La
matriz identidad está definida como la ausencia de correlación significativa
entre las variables. La matriz identidad arrojaría un determinante de 1. El
test de esfericidad está basado en una distribución chi- cuadrado.
En nuestro caso estamos rechazando la hipóstesis nula, ya
que la significación es menor a 0,05. Por tanto, concluimos que nuestra matriz
es diferente de la matriz identidad y que por ende existen variables
correlacionadas en nuestra matriz.
Otra manera de comprobar la bondad el ajuste es fijarnos en
los residuales. Los residuales se piden desde el menú “descriptivos”
solicitando la matriz de correlaciones reproducida. La matriz de correlaciones
reproducida se obtiene a partir de la solución factorial. En la diagonal se
encuentran las comunalidades. Si el factorial tiene un buen ajuste debe ser
capaz de reproducir la matriz de correlaciones inicial. Esto puede ser
comprobado con los residuales que se calculan como la resta entre las
correlaciones de las variables originales y las correlaciones reproducidas. Por
lo general si más de un 30% de los residuos es mayor a 0,05 estaríamos ante un
mal ajuste del ACP.
La matriz de correlaciones sirve
de base para el cálculo de los factores. Se solicita desde el aludido menú
descriptivos seleccionando la opción “Anti-imagen”.
5.
Menú extracción
Una vez que verificamos que nuestra matriz de datos se
ajusta a la realización de un análisis factorial debemos tomar una serie de
decisiones para llevar a cabo el análisis. Desde el menú “Extracción” podemos
definir el método para calcular los factores así como el número de factores a
extraer.
- Decisiones para la extracción de los factores
En método, la opción por defecto es el de componentes
principales, por lo que nos quedamos con la opción por defecto. Ya hemos visto
las ventajas de este método respecto a otros métodos.
En el submenú visualización, además de la opción “Solución
factorial sin rotar” que aparece por defecto, hemos añadido el gráfico de
sedimentación, que como veremos puede ser de utilidad para elegir el número de
factores adecuados a nuestros datos.
o
Selección
del número de factores
Por defecto, el método de extracción está basado en
autovalores mayores de 1. Este método tiene cierta
lógica en cuanto que un factor con un autovalor menor que 1 estaría explicando
menor porcentaje de varianza que una variable única. Aunque no hay un método
del todo aceptado para elegir el número de factores, el autovalor puede ser una
buena guía para comenzar, siempre y cuando tenga consistencia teórica. Si los
factores extraídos no se terminan de ajustar a lo que buscamos podemos intentar
modificar el número de factores extraído.
Una manera simple y gráfica de fijar el número de factores
es consultar el gráfico de sedimentación. En dicho gráfico se muestran los
autovalores en el eje vertical y los componentes o factores en el eje x. La
decisión del número de factores podemos basarla en el no incremento de
explicación cuando introducimos un factor. A partir del gráfico vemos que a
partir del tercer factor no se producen grandes saltos en el autovalor, por
tanto podría ser indicado elegir tres factores a pesar de que como se aprecia
el tercer factor tiene un autovalor menor que 1.
Si tenemos claro el número de factores que queremos extraer,
por ejemplo, cuando nos hallamos en el terreno confirmatorio, podemos fijar a
priori el número de factores deseados desde el submenú extraer. No hay un
consenso sobre la técnica óptima para establecer el número de factores, por lo
que será el investigador el que decida en función de la teoría, lógica y
objetivos.
o
Selección
de matriz de cálculo
Desde el menú extracción se nos ofrece la posibilidad de
usar la matriz de covarianzas en lugar de la de correlaciones para llevar a
cabo el análisis. Por lo general usaremos el método de análisis basado en las
correlaciones. Si por ejemplo queremos que alguna variable pese más para la
configuración de nuestro factorial usaremos las covarianzas, ya que están influidas
por la escala de medición de variables.
6.
Varianza explicada por los factores
La tabla de varianza total explicada nos informa del
porcentaje de varianza que recogen nuestros factores del total de varianza
observada de nuestras variables originales.
En la columna total vem
os el autovalor de cada uno de los
factores. En la segunda columna vemos el porcentaje de varianza explicada por
cada factor y en la tercera el porcentaje acumulado. Luego se repiten dichas
columnas con los factores seleccionados. Si hemos elegido una solución rotada
se mostrará en la última categoría.
En nuestro ejemplo vemos que se han extraído dos factores
por medio de la aludida decisión del autovalor. Nos hemos quedado todos los
factores con autovalor mayor a 1. El primer factor, con un autovalor de 3,796, recoge
un 34,5% de la variabilidad inicial de las variables introducidas en el ACP. El
segundo factor explica un 27,7%, por lo que entre ambos explican un 62,236% de
la varianza total de nuestras variables.
Tras rotar vemos que el porcentaje de varianza acumulada se
mantiene, sin embargo los porcentajes para cada factor cambian y el segundo
factor se incrementa hasta explicar un 29,1% de la varianza inicial.
7. Comunalidades
Las
comunalidades expresan el porcentaje de varianza de cada variable original que
queda representada por los factores. Nos interesa, por tanto, que todas las variables tengan una
alta comunalidad. En nuestro ACP vemos que la variable aborto quedaría explicada
en un 70,6% por nuestros factores, por lo que parte de la varianza del atributo
no sería recogida por los factores. Las variables “suicidio” y “claiming
governments benefits” presentan comunalidades bajas, por lo que es posible que
necesitemos un nuevo factor capaz de recoger la variabilidad de estas variables.
Quizás podemos extraer un tercer factor como parecía indicar el gráfico de
sedimentación.
Las
comunalidades se utilizan para calcular los factores. El ACP se inicia
dibujando una matriz reducida de correlaciones entre las variables. En la
diagonal se encuentran las comunalidades. Por eso, para iniciar el cálculo
previo a la primera iteración el valor de la comunalidad ha de ser asignado. En
el análisis ACP no suponemos relación entre factores, por tanto, la
comunidalidad inicial puede ser de 1. En el factorial común, a diferencia del
ACP se usan estimaciones de la comunalidad inicial, ya que lo que tratamos de
captar es la varianza común y no la varianza total como en el ACP.
8. La matriz de componentes
La
matriz de componentes se calcula como la correlación entre las variables
originales y los factores extraidos. Antes de rotar, la correlacón entre el Factor
1 y la variable “justificabilidad de la prostitución” es de 0,784. El factor 2
correlaciona con la misma variable en -0,144. La suma cuadrada de ambos valores
nos arroja la varianza total explicada por el factorial para la variable
prostitución, es decir nos ofrece la comunalidad.
9.
Menú Rotación
Normalmente
vamos a rotar los resultados de nuestro factorial para que nuestros factores
sean más sencillos de interpretar. Para ello, rotamos los ejes de coordenadas
de los factores de manera que se aproximen al máximo a las variables en que
están saturando a la vez que se alejan del resto. La matriz factorial rotada es
una combinación lineal de la matriz sin rotar. Como hemos visto la varianza
total explicada, así como las comunalidades no quedan alteradas, sin embargo si
se produce una alteración en la cantidad de varianza explicada por cada factor.
Hay
diversos métodos de rotación de los factores cada uno de las cuáles ofrece
resultados diferentes. Se pueden distinguir dos tipos de rotaciones atendiendo
a la correlación de los factores extraidos: rotación ortogonal y rotación
oblicua.
9.1 Métodos ortogonales
Los
métodos ortogonales preservan la independencia entre los factores extraidos.
Esto es ideal ya que nos permite interpretar con mayor facilidad las
dimensiones extraidas y es más versatil para análisis donde haya problemas de
multicolinealidad, como en la regresión. Como contraparte las soluciones que
genera son menos realistas que las obtenidas por métodos oblicuos.
Varimax: Minimiza el número de
variables que tienen cargas altas en cada factor. Suele ser la opción de más
extendido uso ya que facilita la interpretación. Busca que cada variable
correlacione al máximo con un solo factor y que no esté correlacionada con el
resto de los factores. En el ejemplo hemos seleccionado esta opción. Se calcula
escalando los pesos de los factores y dividiendolos por su comunalidad. Si
estás interesado en saber como proceder a su cálculo puedes consultar el
siguiente enlace.
http://www.real-statistics.com/linear-algebra-matrix-topics/varimax/
Quartimax: Minimiza el número de factores necesarios para
explicar cada variable. Busca la ortogonalidad atendiendo a las filas de la
matriz de compententes, mientras que en la solución varimax lo buscábamos a
partir de las columnas.
Equamax: Es una combinación de los dos
métodos anteriores. Se minimizan tanto el número de variables con cargas altas
en un factor, así como el número de factores necesarios para explicar una
variable.
9.2 Métodos oblicuos
Los
métodos oblicuos permiten la existencia de correlación entre los factores. Dependiendo
del método de rotación obtenemos outputs diferentes. En la rotación oblicua
obtenemos dos matrices, la de configuración que presenta las saturaciones de
las variables en los factores y la de estructura que presenta las correlaciones
entre las variables observadas y los factores. Cuando la rotación es ortogonal
ambas matrices coinciden, por lo que no se presentan por separado, y solo
contamos con la matriz de componentes.
Oblimin: Es un método oblicuo en el que
tenemos que designar el valor de delta. Cuando Delta vale 0 obtenemos la
solución más oblicua.
Promax: Debemos definir el valor de
Kappa. Por defecto este valor se sitúa en 4.
Como
se aprecia en la siguiente tabla, los métodos ortogonales así como la solución
no rotada presentan independencia entre factores con una correlación de 0. Por
el contrario, los métodos oblicuos no preservan la independencia inicial de los
factores. Aunque la correlación entre nuestros factores es significativa para
los métodos oblicuos esta se presenta bastante baja.
En
esta tabla se presenta la solución final rotada para nuestro ejemplo y según el
método de rotación Varimax. Como se aprecia las 6 primeras variables conforman
un primer eje con altas cargas en el factor 1. El resto de variables saturan
alto en el factor 2. Por tanto, podemos dividir nuestro grupo de variables
inicial en dos factores, uno relacionado con los valores que afectan a la vida
del propio sujeto y otro relacionado con acciones que afectan de manera directa
a la vida de un tercero.
La
solución factorial no es única y las diferentes rotaciones dan lugar a
diferentes matrices que proponen una solución. Para entender un poco mejor los
efectos de las diferentes rotaciones en la siguiente tabla se presentan los
diferentes valores de la variable “justificabilidad ante el aborto” para cada factor
según los diferentes tipos de rotación. En el caso del ejemplo no se aprecian
grandes diferencias atendiendo a los diferentes métodos. A medida que contemos
con mayor número de factores y variables es posible que las diferencias se
incrementen.
10. Cálculo de las puntuaciones
del factorial
Una vez realizado el análisis factorial podemos guardar
los factores otorgando un valor para cada sujeto dentro de cada factor. Esto
nos permitirá usar estas variables para otros análisis. Para ello debemos
seleccionar la opción guardar como variables dentro del submenú “puntuaciones”.
Podemos seleccionar variables maneras de calcular las puntuaciones factoriales.
La opción por defecto es la de
regresión que es la que usaremos para este ejemplo.
Para calcular los valores de un sujeto para cada factor
debemos multiplicar el valor para el sujeto en la variable estandarizada por el
coeficiente de dicha variable para ese factor en la matriz de coeficientes para
el cálculo de coeficientes. Dicha matriz puede ser solicitada desde el
menú “puntuaciones”. Podemos estandarizar las variables originales desde el menú analizar - estadísticos descriptivos - descriptivos y seleccionando la opción "Guardar valores tipificados como variables.
